内容提要：国外维特根斯坦研究中的一种流行看法，即认为维持根斯坦不懂数学，而通过大量的论证和分析证明，维特根斯坦并非真的不懂数学，相反，他对数学基础和逻辑推理的看法，充分反映了他对这些问题的深刻理解。同时，维特根斯坦对逻辑和数学基础问题的评论，体现了他后期哲学的基础精神。

　　在对维特根斯坦思想的研究文献中，有这样一种看法，认为维氏本人在数学方面的造诣远不及他在逻辑学方面深厚，因而，他所有关于数学问题的讨论，在某种程度上，只能看作是一种学生的练习而已，根本不具有真正数学研究的性质。有人甚至极端地认为，维特根斯坦基本上不懂数学。那么，事实上究竟是不是这样的呢？因为如果这种看法正确的话，那么，维氏关于数学以及逻辑问题的观点也就变得没有价值了，至少失去了原来认为的价值。

　　我们知道，从1930年初开始，维特根斯坦就对数学基础问题作过专门的讲座，并写下了大量的笔记。后来，不仅这些笔记经他本人整理题为《关于数学基础的评论》，并在他嗣后于1956年正式出版，而且他的讲座也经他的学生整理以《维特根斯坦关于数学基础的演讲》为题于1975年出版。当然，仅凭出版了这些著作，并不能完全表明维特根斯坦在数学和逻辑方面具有深厚造诣，重要是要看他在这些笔记和讲座中究竟说了些什么，这些内容对数学和逻辑学的发展究竟有什么样的价值。

　　根据《关于数学基础的评论》一书的编者前言，该书写成于1937～1944年，尔后，维特根斯坦就再也没有谈过这个问题。不过，早在1929～1932年，他曾对这个问题谈了许多，当时的思想属于他思想发展的中期阶段，非常接近《逻辑哲学论》的思想。而《关于数学基础的评论》则属于《哲学研究》思想的一部分。（注：参见L.Wittgenstein:Remarks on the Foundations of Mathematics,（ed.by G.H.von Wright,R.Rhees,G.E.M.Anscombe,tr.by G.E.M.anscombe,The M.I.T.Preas,1967.以下简称为RFM）编者序言，第vi页。）事实上，这本书的许多内容都是《哲学研究》的初稿，特别是该书的开头一节就被收入到《哲学研究》的第189～190页中。全书共有五个部分：第一部分主要讨论的是数学的演算和逻辑的推理问题，其中包含了两个附录，讨论的是数学中的惊奇和哥德尔关于不可证明之物存在的定理；第二部分是关于罗素的从逻辑演算中派生数学的观念，他在这里试图表明他对数学证明性质的看法，提出了‘数学的混合性’(the motley of mathematics)概念，建立了不同演算技术之间的联系，反对一切形式的数学基础观念；第三和第四部分主要是为第五部分的内容所做的前期准备工作，讨论的是数学中的公理，证明以及遵守规则、布劳威尔和直觉主义的关系、排中律和数学的存在以及数学中的内涵与外延观念等同题；第五部分还讨论了数学命题与经验命题的关系、矛盾和一致性概念、遵守规则问题、数学证明以及逻辑推理等。

　　我们在这里将集中分析维特根斯坦在书中对数学的演算、逻辑的推理、证明的形式、公理的自明等问题的讨论，因为这些问题不仅属于数学和逻辑的范畴，而且具有相当普遍的意义：维特根斯坦对这些问题的看法，直接透露出他后期哲学的精神。

　　一、数学演算和逻辑推理

　　通常认为，当我们使用数学演算时，我们的每一步演算都是由数学的公式确定的。譬如，当我们使用公式时，我们用相同的数代入x，我们就会得到相同的y值。这里的步骤是由这个公式决定的。但维特根斯坦则认为这种通常的看法是错误的。

　　首先，他指出，我们通常在使用数学演算时，总以为那是有关各种量的演算，因而，我们在演算中关注的往往是由什么样的常量推出相应的变量。但事实上并不是这样。我们的所有数学演算其实只是关于数学公式的演算，是对数学公式的应用，而与公式中代入的量值无关。如果把通常的数学公式变换一种形式，我们就可以清楚地看到这一点：公式“”可以变换为“按给定的x值决定数y的公式”；同样，公式“”也可以变换为“给定x值不能决定数y的公式”。可见，这两个被变换后的命题都是关于这两个数学公式形式的陈述，它们与其中的x和y的数值无关。

　　其次，他还认为，在数学演算中使用什么样的公式，就事先决定了演算的各个步骤。那么，又是如何确定是否正确地使用了公式呢？他认为，这就需要根据使用经验，例如，它可以是经常使用公式的那种方式，也可以是别人教给我们的使用公式的方式等等。无论如何都是根据以往的使用方式，事先决定演算的各个步骤。

　　再次，维特根斯坦指出，数学演算本身并不是揭示数的或形式的本质之类的东西，它只是一种约定而已。他写道：“如果你谈论什么东西的本质，你就只是在注意到一种约定。但人们在这里也许会反驳说：在关于深刻本质的命题与关于纯粹约定的命题之间并没有巨大的差别。但我的回答是：我们在本质中看到的深度，就符合对约定的深厚需求。”在他看来，这里所谓的本质就是约定。譬如，在几何图形中看到的东西，如果要询问它们的本质，我们就只是询问，人们通常使用它们是指什么，也就是通常对它们的约定是什么。又如，我们通常把演算看作是在证明某种结构的内在属性或本质属性。但这种所谓的对内在属性或本质属性的证明，其实就是对原有结构的展现，而且这种展现是没有时间性的，就是说，无论在任何时间场合，使用相同的数学公式，都应当得到相同的结果。当我们说“这个命题来自那个命题”时，这里使用的“来自”就是没有时间性的。例如，我们可以说“白色比黑色亮些”，这就是一个非时间性的表达式，它表达的是一种内在关系的存在事实。